Недавно я перевел данный сайт на WordPress. Вместе с этим у меня сменился логотип и favicon.ico. Мне пришлось ждать примерно 1.5 месяца, чтобы мой новый логотип появился в выдаче Яндекса.

Возможно, что частота обновления favicon.ico сайта зависит от часты обновления самого сайта. Чем чаще на нем появляется свежая информация, тем чаще на неё заходят разные роботы. Для сбора иконок у Яндекса существует отдельный робот. В логах его можно обнаружить примерно в таком виде:

Mozilla/5.0 (compatible; YandexFavicons/1.0; +http://yandex.com/bots)

По отзывам некоторых пользователей робот Яндекса для сбора favicon.ico заходит на сайты раз в 1-3 месяца.

ps: Не забудьте, что размещать файл favicon.ico следует обязательно в корне сайта, иначе иконка может подхватится не для всех страниц или не всеми-возможными сервисами в интернете, которые это, в принципе, делают. Статья по теме.